【体験談】数字（算数・数学）に強くなる方法 ～ 数学問題の解き方のヒント＃２
実体験ですが、あくまでも個人的な意見です。
高校受験の反動から、高校入学後まったく勉強せず３年生時の成績は後ろから１０番以内でした。にもかかわらず、その後１年間必死に勉強、高校３年間の数学の勉強内容を取り戻したのみならず、某有名理系私立大学の物理学科に合格するまでの受験数学を習得、さらにもう１年の勉強で某有名理系国立大学にまで合格することができました。
数学がニガテ、キライという人が、少しでも楽しく数学に取り組めるように、いかに楽しく数学問題に取り組むことができるのかをご紹介したいと思います。
このブログでは、みなさんが数学問題が解けるようになるということは目指していません。数学を楽しく考えられるようになるヒントになればいいなあと思っています。
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こんにちは。
＃１の問題は、東大の入試問題だったのかー。でも比較的解きやすかったね。
そうね。東大の過去問の中でも、かなり易しいほうだったわね（レベルＡ）。わたしが問題を解くときに大事にしていることは、まずはイメージをつかむってことなの。じゃあ今日はこんな問題はどうかしら。
（問）空間内の点Ｏに対して、４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを
ＯＡ＝１
ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ＝４
をみたすようにとるとき、四面体ＡＢＣDの体積の最大値を求めよ。
ＯＡ＝１
ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ＝４
をみたすようにとるとき、四面体ＡＢＣDの体積の最大値を求めよ。
さあ。このような問題、みなさんだったらどのように解きますか？
このような問題も、まずは前回とおなじように、次の３つを考えてみてください。
１．図（形）を描く
２．相反する極端な２つのケースを考える
３．具体的な数字を使って考える
２．相反する極端な２つのケースを考える
３．具体的な数字を使って考える
１．図（形）を描く
基本はやはりこれです。
「そんなの描かなくても、頭の中でイメージできるよ」
はい。そうかもしれないけれど、まあ描きましょう。
でも＃１のときよりは、だいぶ難しいと思いますよ。
とりあえず（問）の条件を満たすような図をひとつ、描いてみてください。
２．相反する極端な２つのケースを考える
つぎも、＃１の問題のときと同じです。
極端な２つのケースを考えてみます。
１．ではどんな図形を描きましたか？
おそらく、
底面が三角形ＢＣＤ、頂点がＡ
の三角錐を描いたと思います。
そしておそらく頂点Ａは、底面ＢＣＤから見てＯの向う側（Ｏは頂点Ａと底面ＢＣＤの内側）に描いたと思います。
しかし。
頂点ＡはＯと底面ＢＣＤの間にあるケースも考えられるはずです。（相反する２つのケース）
さて。
ここでもう一度問題を読んでください。
四面体ＡＢＣDの体積の最大値を求めよ。
と書いてあります。
つまり、求めたい四面体ＡＢＣＤは、できるだけ大きい四面体のはずなのです。
これにより、この問題の四面体ＡＢＣＤの頂点Ａは、底面ＢＣＤから見てＯの向う側にあることがわかります。
ここまででだいたい問題の２０％くらいといったところでしょうか。
さて。
この問題では、実際に手を動かして計算を始めるまで、あと２つほど気づかなければならないことがあります。
それは四面体ＡＢＣDの体積が最大値となるとき、
① Ａから底面ＢＣＤに垂直に下した直線上にＯがある
② 底面ＢＣＤが最大（正三角形）のとき四面体ＡＢＣＤの体積は最大値となる
ということです。
ここで①は自明なので証明は不要です。
（数学では証明するまでもなく明らかなものは、証明は不要になります）
しかし②については証明が必要となります。
が、いまここでは②の証明は省略します。
（問題を解答に導くための考え方を知ることを目的としているため）
ここまで出来たら問題の９０％は解けたことになります。
３．具体的な数字を使って考える
この（問）においては、この項目は不要です。
２．②を証明する流れで最大値までの作業となります。
力技で、がんばって計算してください。
さて、この問題では、（問）を満たす四面体は正三角錐となります。
２．でこの当たりをつけられたら、比較的簡単に解まで導き出すことができそうですね。
ふたたび言います。
ここでは実際に数学の問題を解くことを目的としていません。
解にたどり着くまでの考え方の練習をしています。
はい、どうでしたか？
なんとなく数学が楽しいってこと、伝わりましたか？
伝われ～
きょうも、昔どっかの芸人さんがやっていたネタを使いました。
まだ、誰だったかは思い出せません。
さて今日の問題ですが、今日も、東京大学の赤本からとってきました。
こんな風に、東大の問題も楽しく解けてしまいます♪
人間は転んだおかげで賢く、そして逞しくなります。
みなさんも転ぶことを決して恐れず、また転んでしまっても決して諦めず、時には敢えて転ぶ勇気を持って、人生を楽しく歩んでいってください。
